Шаблон:Lang

v^2(x)= 2*K*Integr(x*dx) a(x)= G/x^2 ---> v^2(x)= 2*G*Integr(dx/x^2) 1. Находим скорость v(x)=(2*Integr(a(x)*dx))^0,5 2. Находим время t(x)=Integr(dx/v(x)) 3. Находим формулу пути, как обратную функцию x(t)=1/t(x).

* Если известна зависимость ускорения от скорости a(v), то она переносится в левую часть уравнения. Например:

a(v)=g-k*v ---> dv/(g-kv)= dx a(v)=g-k*v^2 ---> dv/(g-kv^2)= dx 1. Интегрируем уравнение с разделенными переменными 2. Находим зависимость x(v), обратную функцию v(x)=1/x(v) 3. Находим зависимости t(x)=Integr(dx/v(x)) 4. Находим формулу пути, как обратную функцию x(t)=1/t(x).

* Усли известна зависимость v(x), то, интегрируя,  находим   t(x)=Integr(dx/v(x)).
* Если известна зависимость v(t), находим из нее первообразную - X(t) и производную - a(t).
* Заметим - мы не прибегаем здесь к теории дифференциальных уравнений, где даются, в виде решений, готовые функции для каждого вида уравнения, а сами, прямым интегрированием, находим эти функции.
* Заметим - это замечательное уравнение является шаблоном для подстановки в него известных функций при решении конкретных задач. При этом нужно решать полученные уравнения в определенных интегралах, чтобы учесть заданные начальные условия. Иначе можно получить не верную формулу или формулу, где  значение физической величины не имеет предела.  В теоретической механике существуют похожие шаблоны в виде уравнений Лагранжа, уравнений Гамильтона и т.д.

• • • • Примеры решения задач.****

• Найти время падения тела от состояния покоя, на расстоянии 6371 км от поверхности Земли, до ее поверхности. Дана зависимость а(х)=g/x^2, где x=(h+R)/R, g=10м/с^2, R=6371км. сопротивление атмосферы не учитывать.

Решение:

находим v^2(x)= 2*Integr(g*dx/x^2)=(2*g*R*(1/x-1/Xo))^0,5, 

находим t(x)=Int(dx/v(x))= (R/2g)^0,5*Xo^3/2*(pi/2-arcsin((x/Xo)^0,5)+(x/Xo)*(Xo/x-1)*0,5) Ответ: время падения t=2072c. Заметим: в учебниках чаще приводится вывод времени через эллиптическую формулу, исходя из законов Кеплера.

• Найти период колебаний пружинного маятника, если известна зависимость a(x)=k*x/m.

Решение: находим v^2(x)=2*Integr(k/m)*x*dx=(k/m)*(Xo^2-x^2) находим T=4* t(x)=4*Integr(dx/v(x))=2*Pi*(m/k) Заметим: в учебниках чаще приводится вывод периода, исходя из готовой функции x= A*sin(w*t), определяющей гармонические колебания.

• • Вывод закона сохранения механической энергии из формулы силы** / 2 закона Ньютона/:

m*a=F :исходная формула m*dv=F*dt :в дифф.форме m*v*dv=m*a*v*dt :умножили на v m*v*dv=m*a*dx :освободились от dt m*v^2/2=m*a*x : вывели неопределенный интеграл - формулу ЗСЭ.

• • Взяв определенные интегралы, докажем теорему о изменении Ек.
    • А теперь докажем, что формула m*v^2/2 справедлива для любой конкретной зависимости ускорения от координаты /а(х)/:

v(x)=(2*I(a(x)*dx))^0,5 :скорость из формулы ЗСЭ dv(x)=a(x)*dx/(2*I(a(x)*dx))^0,5 : дифф-л скорости v(x)*dv(x)=a(x)*dx :их произведение - ЗСЭ в дифф.форме.

Заключение.

Статья написана в кратком стиле, в предположении, что читателю знакомы условные обозначения использованных в формулах физических величин. Длина обозначена символом "х" для удобства восприятия ее как независимой переменной. Возможны некоторые ошибки, пусть читатель-рецензор их исправит, если статья покажется ему полезной.

Ю. Архипов.